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正的多面体 为什么正多面体只有5种

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1、证明：设正多面体的每个面是正n边行 ， 每个顶点是m条棱 ， 于是 ， 棱数E应是F（面数）与n的积的一半 ， 即Nf=2E（1式） 。同时 ， E应是V（顶点数）与M的积的一半 ， 即mV=2E（2式） 。由1式、2式 ， 得 ， F=2E/n, V=2E/m ， 代入欧拉公式V+F-E=2 ， 有2E/m+2E/n-E=2整理后 ， 得1/m+1/n=1/2+1/E 。
2、由于E是正整数 ， 所以1/E>0 。因此1/m+1/n>1/2（3式） ， 3式说明m,n不能同是大于3 ， 否则3式不成立 。另一方面 ， 由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知 ， m>=3且n>=3 。因此m和n至少有一个等于3 。
3、当m=3时 ， 因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数 ， 所以n只能是3 ， 4 ， 5 。
【正的多面体 为什么正多面体只有5种】4、同理n=3 ， m也只能是3 ， 4 ， 5 ， 所以n m 类型 ， 3 3 正四面体 ， 4 3 正六面体 ， 3 4 正八面体 ， 5 3 正十二面体 ， 3 5 正二十面体 ， 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出 ， 而不可能有其他种类的正多面体 ， 所以正多面体只有5种 。

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