17岁高中生解开困扰数学家27年难题，因张益唐「入坑」数论( 二 ) _丹尼尔

在1899年，数学家Alwin Korselt还提出了一种卡迈克尔数的等效定义，当正合数n满足以下三个性质时：

必须包含不止一个质因数；
质因数均不重复；
对于每一个能被n整除的质数p，p-1也可以被n-1整除

它就是一个卡迈克尔数。
举个例子，最小的卡迈克尔数是561，561=3×11×17，而2、10和16均能被560整除。
1994年，雷德·阿尔福德（Red Alford）、安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville），以及前文提到的卡尔·波梅兰斯三位数学家，在《数学年刊》上发表论文，证明了卡迈克尔数有无穷多个。

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但当他们试图证明这无穷多个卡迈克尔数之间的间隔时，新的困难出现了。
三位数学家认为，这个问题可以转化为这样一种证明：给定一个足够大的数字X，在X和2X之间一定存在一个卡迈克尔数。
遗憾的是，从1994年到2021年的27年之间，并没有人完成这个证明。
难度可想而知。因此当丹尼尔的爸爸——印第安纳大学路明顿分校数学教授迈克尔·拉森（Michael Larsen）得知儿子想要攻克这个问题时，他的第一反应是“这可能会变成一段负面经历” 。
但丹尼尔的反应却是：

你的意思是我仍有10%的机会！

于是，他坚定地投身其中。并且在约300个小时（12.5天）的努力之后，他的论文出炉了。
前面说到，一开始接触数论，丹尼尔就研究过陶哲轩和梅纳德的论文。而在这个有关卡迈克尔数的证明上，他巧妙地站在了前辈的肩膀上。
他修改了梅纳德在证明孪生素数间隔时的用到的方法，将之与阿尔福德、格兰维尔和波梅兰斯的方法相结合。如此一来，就能够确保他最终得到足以产生卡迈克尔数的素数区间。

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实际上，这篇论文不仅证明了卡迈克尔数一定会出现在X和2X之间，其证明方法还适用于更小的间隔。
另一位致力于伪质数研究的数学家、沃福德学院的Thomas Wright就表示，“这篇论文改变了研究卡迈克尔数的许多事情” 。
值得一提的是，卡迈克尔数与密码学和通信安全息息相关。
最典型的非对称加密算法RSA中，生成公钥的第一步就是选取一对很大的随机质数。
而当数字比较大时，想要判断其是否为质数就很麻烦，也很容易与其它数字混淆。这时候，卡迈克尔数的相关研究就能派上用场了。
出身数学世家
如果说与数论的机缘是从张益唐的纪录片开始，那么丹尼尔与数学的缘分在他更小的时候就已经显现。
这与他的家庭氛围息息相关。
丹尼尔出身数学世家，父母都是印第安纳大学的数学教授，他在浓厚的数学氛围下长大。
他的父亲迈克尔·拉森是1977的IMO（国际数学奥林匹克竞赛）金牌得主，本科毕业于哈佛大学，后于普林斯顿大学取得博士学位。
2013年，迈克尔·拉森因“对群论、数论、拓扑学和代数几何的贡献”而成为美国数学会会员。