函数连续定义如下：
简单说 ， 就是自变量的变化量趋于0的时候，函数值的变化量也趋于0 。
图1
如上图所示，我们可以把函数连续的含义理解为红色小球沿着曲线下滑的过程：当自变量
Δx 趋于0的过程中，Δy 也趋于0 。也可以想象x0+Δx点上的那根垂线 ， 被强行向左拉到x0点 ， 这个过程中，Δy的高度可以看作是Δx变小的过程中被强行压缩到0 。
上图的证明表示，Δ y等于0是被Δ x拖动到0，因为第二个等号中每一项都存在Δ x,因此Δ y完全可以看作是被Δ x迫使到0 。而且上图中的Δy是等于0，而不是约等于，这是因为Δ x是无穷小，是没办法用任何数字表示出来的，因此 ， 导致Δy也无法用任何数字表示，只能认为是等于0，这是一种强制性的等于0，而不是约等于，与1+0.0000001约等于1有着本质的区别，后者是人为的忽略导致的 。
Δy=(x+Δx)^n-(x)^n
= x^n + nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1) + (Δx)^n-x^n
=nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1)
where
nCr = n!/(r!(n-r)!)
从以上推导看出，对于x的n次方来说，求差以后每一项中也都出现了Δx，因此Δy肯定会变成为0 。由以上分析似乎可以看出，连续就意味着Δy的每一项中都有Δx的乘积项 。
从上图看到，Δy的乘积中如果没有Δx，也可以通过数学变换让其出现 。当然还有别的情况，比如指数函数a^x 。
函数连续的第二种定义如下：
这个定义其实和前一种定义是一样的 。
那么 ， 什么情况下不连续呢？
【什么叫做函数的连续性】上图中我们看到，当Δx从左右两边趋向0时 ， 其目的地f(0)不一样，而图1中不管Δx从左还是右趋向x0的时候，目的地都是f(x0) 。
还有下图情况 。这里x0=0，因为目的点f(x0)是无穷大，而无穷大我们是不知道到底在哪里的，所以我们认为这种情况也是不连续的 。
下图则是不但不知道目的点f(x0)在哪里，而且左右目的点不相同 。
下图则是每一个点都不连续的函数：
因为数轴上任意两个点（包括有理数和无理数）之间，都包含无穷多个其它的有理数和无理数点 。
综上：
1：连续就是当Δ x趋于0时强制把Δ y也趋于0，从而到达目的地f(x0) 。
2：当Δ x从左右两边趋于0而到达的目的点不一致，或者目的点不确定的时候，这种情况下函数不连续 。
