1、证明：设正多面体的每个面是正n边行 ， 每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即Nf=2E（1式） 。同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即mV=2E（2式） 。由1式、2式，得，F=2E/n,V=2E/m ， 代入欧拉公式V F-E=2，有2E/m 2E/n-E=2整理后，得1/m 1/n=1/2 1/E 。
2、由于E是正整数 ， 所以1/E>0 。因此1/m 1/n>1/2（3式），3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立 。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3 。因此m和n至少有一个等于3 。
3、当m=3时 ， 因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数 ， 所以n只能是3，4，5 。
【为什么正多面体只有5种】4、同理n=3，m也只能是3，4，5，所以nm类型，33正四面体，43正六面体，34正八面体，53正十二面体，35正二十面体，由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出 ， 而不可能有其他种类的正多面体，所以正多面体只有5种 。
