有界函数不一定有极限，比如函数y=sinx，当x趋于无穷时，极限不存在 。有限个有界函数的和、差、积必有界 。极限存在只是函数有界的充分条件，而非必要条件，即函数有界但函数极限不一定存在 。
如果函数在某点连续，那么在这个点附近一定有一个邻域，这个邻域中函数是有界的 。
有界函数是设f（x）是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M ， 使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间E上的有界函数 。其中m称为f（x）在区间E上的下界，M称为f（x）在区间E上的上界 。
有界函数并不一定是连续的 。根据定义，?在D上有上（下）界，则意味着值域?（D）是一个有上（下）界的数集 。根据确界原理，?在定义域上有上（下）确界 。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N 。由?（x）=sinx所定义的函数f：R→R是有界的 。当x越来越接近－1或1时 ， 函数的值就变得越来越大 。
【有界函数一定有极限吗 有界函数不一定有极限】函数的性质：
1、单调性
闭区间上的单调函数必有界 。其逆命题不成立 。
2、连续性
闭区间上的连续函数必有界 。其逆命题不成立 。
3、可积性
闭区间上的可积函数必有界 。其逆命题不成立 。
相关概念：
如果一个数列的项数n趋向于无穷大时，数列的极限存在 ， 那么就称这个数列收敛 。
而对于函数，如果一个函数的自变量趋向于X0（或∞）时 ， 它的因变量趋向某个特定值或者趋向∞那么就称函数在X0（或无穷大）处有极限 。
若一个数列收敛 ， 那么这个数列就是有界数列，若一个函数在某点处有极限，那么这个函数在这个点处的去心领域内有界，也就是说局部有界 。
