写在前面

矛盾是无处不在的，数学正是由化解矛盾而发展起来的，这其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。

危机

数学史上贯穿了矛盾，同时也贯穿着人们对于矛盾的讨论。当一个矛盾激化到可以影响整个数学基础的时候，就会产生数学危机。
而对于这种危机的化解，往往就是数学史上的新发展，可以将原本是数学拓展到更加深层次的领域上去。

毕教主的噩梦

毕达哥拉斯，是人类历史上一位著名的数学家。他建立的必氏学派始终信奉着数是万物的本源，正所谓“万物皆数” 。
世间万物都是由数字按照一定比例和结构所构成的，并提出了一切数均可以表示为整数或者整数之比的概念。

毕教主最为辉煌的成就就是证明了勾股定理，但是辉煌的背后也有着他自己的心酸。
因为他在研究三角形的时候发现了三角形的三边比不能表示成整数或者整数之比。

但是毕教主毕竟是一派之主，自己否定自己的理论未免有些太过于打脸，所以他选择隐瞒，假装什么都不知道。

当然，这件事是瞒不住的。一个叫希帕索斯的人就在当时提出一个问题：“边长为1的正方形，其对角线的长度是多少？”
正是因为这个问题触动了毕氏学派的理论根基，所以希帕索斯被处以抛入大海的刑罚。

在之后便没有人敢于质疑毕教主的理论。两百年后，欧多克索斯在毕教主理论基础上建立了一套比较完善的比例理论，巧妙的避开了无理数的逻辑，并且在相当大程度上保留了毕氏学派的理论，算是缓解了这次数学危机。

但是他仅仅是通过几何的方式避免直接接触无理数，这样只是巧妙避开了人们的质疑，但是并没有真正解决这个危机。
直到19世纪下半叶，实数理论建立后，无理数才被彻底的搞清楚，这样一来无理数的合法地位才在数学大厦中真正建立，这持续了几千年第一次数学危机宣告彻底解决。

来自微积分中的幽灵

17世纪时牛顿与莱布尼茨各种独立创立了以无穷小分析为基础的微积分理论。

所以当时的微积分又叫做无穷小分析。虽然微积分的发明极大推动了数学研究的发展，但是毕竟初期建立的体系总有不完善的地方。
而这次的不完善却是致命的。当时一个叫贝克莱的人提出一个悖论—— 无穷小量到底是不是0
因为在当时的体系中无穷小量即是0，又不是0，那么它到底是什么？

这让微积分的建立者们很是恼火。贝克莱也嘲笑无穷小量为“已死量的幽灵” 。
直到19世纪70年代，魏尔斯特拉斯、柯西等人建立实数理论，并在实数理论上建立起极限的基本定理，才缓解了这无穷小的幽灵所引发的危机。

【数学史上的三次大危机，你都了解吗？】但是故事总是曲折的，魏尔斯特拉斯举出了一个处处不可微但是却连续的函数例子，说明了直观思维和几何作图的不可靠，必须诉诸严格的概念和推理。
这导致了数学家们更加深入的讨论实数论，并导致了集合论的诞生。关于无穷小量，阿拉丁认为它至今都是一个幽灵，因为关于实无限和潜无限在如今的数学体系中相辅相成，平分秋色。